Die auf sämtliche Zulassungsgründe des § 132 Abs. 2 VwGO gestützte Beschwerde bleibt erfolglos.
1. Die geltend gemachte grundsätzliche Bedeutung der Rechtssache wird durch den Beschwerdevortrag nicht belegt.
Grundsätzliche Bedeutung im Sinne von § 132 Abs. 2 Nr. 1 VwGO hat eine Rechtssache nach der Rechtsprechung des Bundesverwaltungsgerichts nur, wenn zu erwarten ist, dass die Revisionsentscheidung dazu beitragen kann, die Rechtseinheit in ihrem Bestand zu erhalten oder die weitere Entwicklung des Rechts zu fördern. Die grundsätzliche Bedeutung muss gemäß § 133 Abs. 3 Satz 3 VwGO in der Beschwerdeschrift dargelegt werden. Das ist hier trotz deren außerordentlichen Umfangs nicht in hinreichender Weise geschehen. Dabei genügt der Vortrag der Klägerin, weshalb das angefochtene Urteil ihrer Meinung nach rechtsfehlerhaft sei, nicht. Angriffe gegen die Rechtsauffassung des vorinstanzlichen Gerichts ersetzen nicht die Darlegung eines Grundes für die Zulassung der Revision. Die Klägerin verkennt damit den prinzipiellen Unterschied zwischen der Begründung einer Nichtzulassungsbeschwerde und derjenigen einer zugelassenen Revision.
Die grundsätzliche Bedeutung ist nur dann ordnungsgemäß dargelegt, wenn die Beschwerde mindestens eine bestimmte, nicht nur den Einzelfall betreffende Rechtsfrage des revisiblen Rechts herausgearbeitet hat, die höchstrichterlich noch nicht geklärt und für das erstrebte Revisionsverfahren entscheidungserheblich ist. Eine solche Frage weist die Beschwerdebegründung nicht auf. Soweit Ausführungen der Klägerin in Frageform gekleidet sind und als klärungsbedürftig herausgestellt werden, entbehren sie teils der erforderlichen Bestimmtheit, teils der Verallgemeinerungsfähigkeit.
Eine zur Revisionszulassung wegen grundsätzlicher Bedeutung führende Frage muss so gestellt sein, dass sie der angefochtenen Entscheidung die tragende Grundlage entzöge, falls das Revisionsgericht sie im Sinne des Beschwerdeführers beantworten würde. Dazu reicht es nicht aus, einen "Problemkreis" bzw. eine "Problematik" oder einen "Bereich" (Beschwerdebegründung S. 14 f.) zu beschreiben oder undifferenziert nach der Auslegung einer bestimmten Vorschrift zu fragen, ohne die in Frage kommenden Alternativen herauszuarbeiten. Die Frage, "wie bzw. auf welcher Grundlage bezifferbares Anteilsvermögen bzw. ein hierauf gerichteter kommunaler Anspruch im Sinne von § 4 Abs. 2 KVG ermittelt werden muss", lässt die erforderliche Konnexität mit einer entscheidungstragenden Annahme des Verwaltungsgerichts nicht erkennen. Sie bezeichnet einen komplexen rechtlichen Sachverhalt, der der Zerlegung in einzelne konkrete Rechtsfragen zugänglich und bedürftig ist. Es obliegt der Beschwerdeführerin, aus einem Problemkreis konkrete Rechtsfragen herauszuarbeiten, die es dem Beschwerdegericht ermöglichen, darüber zu entscheiden, ob der Rechtssache grundsätzliche Bedeutung zukommt.
Noch offensichtlicher zeigt sich das Fehlen der grundsätzlichen Bedeutung bei den übrigen Fragen (S. 14 f. der Beschwerdebegründung), die nachzuvollziehen dem Senat schwerfällt. Jedenfalls aber sind sie den konkreten Umständen des vorliegenden Einzelfalles so sehr verhaftet, dass eine verallgemeinerungsfähige Beantwortung nicht möglich ist.
2. Die mit der Beschwerde erhobene Abweichungsrüge ist ebenfalls nicht begründet.
Eine die Revision eröffnende Divergenz liegt nur dann vor, wenn die Vorinstanz in Bezug auf einen inhaltlich bestimmten entscheidungserheblichen Rechtssatz abgewichen, also in einer abstrakten Rechtsfrage anderer Auffassung ist als das Bundesverwaltungsgericht beziehungsweise der Gemeinsame Senat der obersten Gerichtshöfe des Bundes oder das Bundesverfassungsgericht. Eine derartige Abweichung wird in der Beschwerdeschrift nicht aufgezeigt.
Die Beschwerde verweist in diesem Zusammenhang auf die Rechtsprechung des Bundesverwaltungsgerichts zum Umfang der gerichtlichen Aufklärungspflicht nach § 86 Abs. 1 VwGO, der das Verwaltungsgericht nicht gerecht geworden sei. Ob dieser Vorwurf zutrifft oder nicht, kann dahingestellt bleiben, denn die - angeblich - unrichtige Anwendung eines vom Bundesverwaltungsgericht entwickelten und vom vorinstanzlichen Gericht nicht in Frage gestellten Rechtsgrundsatzes auf den zu entscheidenden Einzelfall ist keine Abweichung i.S. des § 132 Abs. 2 Nr. 2 VwGO (stRspr des Bundesverwaltungsgerichts, vgl. Beschluss vom 29. Juni 1992 - BVerwG 3 B 102.91 - Buchholz 418.04 Heilpraktiker Nr. 17) und kann für sich genommen nicht zur Zulassung der Revision führen.
3. Auch die Verfahrensrüge ist unbegründet.
Ein Verfahrensmangel im Sinne des § 132 Abs. 2 Nr. 3 VwGO ist nur dann "bezeichnet" (§ 133 Abs. 3 Satz 3 VwGO), wenn er sowohl in den ihn (vermeintlich) begründenden Tatsachen als auch in seiner rechtlichen Würdigung substantiiert dargetan wird (vgl. BVerwG, Beschluss vom 10. November 1992 - BVerwG 3 B 52.92 - Buchholz 303 § 314 ZPO Nr. 5; Weyreuther, Revisionszulassung und Nichtzulassungsbeschwerde in der Rechtsprechung der obersten Bundesgerichte, 1971, Rn. 222 m.w.N.).
Die Beschwerde hält dem Verwaltungsgericht vor, es habe entgegen der Ankündigung im Termin, eine Entscheidung werde am Schluss der Sitzung ergehen, am Abend dieses Sitzungstages nur einen neuen Verkündungstermin, nicht aber das erwartete Urteil verkündet. Inwiefern hierin ein Verfahrensfehler liegen soll, vermag der Senat nicht zu erkennen; er sieht daher unter Berufung auf § 133 Abs. 5 Satz 2 2. Halbsatz VwGO von einer weiteren Begründung ab.
Die Kostenentscheidung beruht auf § 154 Abs. 2 VwGO, die Streitwertfestsetzung auf § 6 Abs. 3 Satz 2 VZOG.